Kamis, 03 Januari 2013


PENCERMINAN 2


Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi kalau A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’.
Bukti:
Ambil Semarang A, B, A’, B’  V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan A’B’ = AB.
Kasus I
Jika A, B   S maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.
Jadi AB = A’B’   Ms(A)Ms(B) = AB.
Kasus II
Jika A   S, B   S dan Ms(A) = A’ = A dan Ms (B) = B’
Akan ditunjukkan AB = A’B’
Perhatikan
AC = AC (berimpit)
  (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
Menurut teorema karena   mempunyai sifat S Sd S yang sama, maka  .
Jadi AB = A’B’.
Kasus III
Jika A, B   S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.
Akan ditunjukkan AB = A’B’
Perhatikan  .
DC = DC (berimpit)
  (karena siku-siku)
BC = B’C (karena S sumbu simetri)
Menurut teorema karena   mempunyai sifat S Sd S yang sama maka  .
Jadi BD = B’D dan  .
Karena   dan   (900)
Maka
Perhatikan
AD = A’D (berimpit)
  (dari pernyataan 1)
DB = DB’ (diketahui)
Menurut teorema karena   mempunyai sifat S Sd S yang sama maka  .
Jadi AB = A’B’.

SOAL LATIHAN

SOAL LATIHAN
T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P)=(x-5,y+3) untuk semua titik P(x,y) V. selidiki apakah T suatu isometri??
Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y-1). Selidiki apakah T suatu isometric??
Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P)=P
Jika Pg maka T(P)=P’, sehinggaP’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P ke g.
Apakah T suatu transformasi?
Apakah T suatu isometric??
Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1) dan D=(-2,k). apabila T suatu isometric sehingga T(A)=C dan T(B)=D. Tentukanlah k!



Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y)   V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2   V maka P1‘P2’ = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)


Maka P1‘P2’ = P1P2.
karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.

Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1’ = (x1 + a, y1 +b)
T(P2) = P2’ = (x2 + a, y2 + b)


Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.
Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.

Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x,      y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Bukti:
Pikirkan sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
Menurut definisi

Menurut definisi   dan  


 
Jelas  ≠
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.

Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P  maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P ke g.
Apakah T suatu transformasi?
Apakah T suatu isometri?
Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:
Jawab:
Ditunjukkan T suatu transformasi
Ditunjukkan T surjektif
Pikirkan sebarang titik P’V
Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’
Oleh karena V bidang euclide maka ada P tunggal dengan P’ px dengan P’ adalah titik tengah px  dan P’ adalah satu-satuny titik tengah px
Jadi  P’V memiliki prapeta
Jadi T surjektif
Ditunjukkan T injektif
Pikirkan sebarang titik P,QV dengan P≠Q
 P≠Q

Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan P≠Q
Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q
Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P
Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Q’
Jelas PQ≠P’Q’=PQ’
Jadi T bukan Isometri
T isometri jika
Ag, Bg
A ,B
Jadi AB = A’B’ jika
Ag, Bg
A ,B

1 komentar: